Конциклічні точки
Конциклічні точки (або гомоциклічні точки) — точки, що лежать на одному колі. Три точки на площині, що не лежать на одній прямій, завжди лежать на одному колі, тому іноді термін «конциклічні» застосовують тільки до наборів з 4 або більше точок.[1]
У загальному випадку центр O кола, на якому лежать точки P і Q, має бути таким, щоб відстані OP і OQ були рівними. Тому точка O має лежати на серединному перпендикулярі (або на медіатрисі) відрізка PQ.[2] Необхідною і достатньою умовою того, щоб n різних точок лежали на одному колі є те, що n(n − 1)/2 медіатрис відрізків, які з кінцями в будь-яких парах з n точок, всі одночасно перетиналися в одній точці, а саме: в центрі O.
Вершини кожного трикутника лежать на колі[3]. Коло, що проходить через 3 вершини трикутника, називається описаним колом трикутника. Кілька інших наборів точок, які визначаються з трикутника, також лежать на одному колі, тобто є конциклічними точками; див. Коло дев'яти точок[4] і коло Лестер.[5]
Радіус кола, на якому міститься множина точок, за визначенням, є радіусом описаного кола будь-якого трикутника з вершинами в будь-яких трьох з цих точок. Якщо попарні відстані між будь-якими трьома з цих точок a, b і c, то радіус кола дорівнює
Рівняння описаного кола для трикутника, і вираз для радіуса і координат центру кола через декартові координати вершин наведено тут.
Чотирикутник ABCD з вершинами, що лежать на одному колі, називається вписаним; це буває тоді і тільки тоді, коли (за теоремою про кут, вписаний у коло), що виконується тоді і тільки тоді, коли протилежні кути чотирикутника доповнюють один одного до 180°.[6] Вписаний чотирикутник з послідовними сторонами a, b, c, d і півпериметром s = (a+b+c+d)/2 має радіус описаного кола, рівний[7][8]
Цей вираз отримав індійський математик Ватассері Парамешвара[en] в XV столітті.
За теоремою Птолемея, чотирикутник, заданий попарними відстанями між його чотирма вершинами A, B, C і D відповідно, буде вписаним тоді і тільки тоді, коли добуток його діагоналей дорівнює сумі добутків протилежних сторін:
Якщо дві прямі, одна з яких містить відрізок AC, а інша містить відрізок BD, перетинаються в одній точці «Х», то ці чотири точки A, B, C, D є конциклічними точками тоді і тільки тоді, коли[9]
Точка перетину X може бути як всередині, так і поза описаним колом. Ця теорема відома як теорема про степінь точки.
У загальному випадку n-кутник, усі вершини якого лежать на одному колі, називається вписаним многокутником. Многокутник є вписаним многокутником, якщо і тільки якщо всі серединні перпендикуляри його сторін перетинаються в одній точці.[10]
- ↑ Ефремов, 1902, с. 34.
- ↑ Libeskind, Shlomo (2008), Euclidean and Transformational Geometry: A Deductive Inquiry, Jones & Bartlett Learning, с. 21, ISBN 9780763743666, архів оригіналу за 9 липня 2021, процитовано 7 липня 2021/
- ↑ Elliott, John (1902), Elementary Geometry, Swan Sonnenschein & co., с. 126, архів оригіналу за 9 липня 2021, процитовано 7 липня 2021.
- ↑ Isaacs, I. Martin (2009), Geometry for College Students, Pure and Applied Undergraduate Texts, т. 8, American Mathematical Society, с. 63, ISBN 9780821847947, архів оригіналу за 9 липня 2021, процитовано 7 липня 2021.
- ↑ Yiu, Paul (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations (PDF), Forum Geometricorum, 10: 175—209, MR 2868943, архів оригіналу (PDF) за 7 жовтня 2021, процитовано 7 липня 2021.
- ↑ Pedoe, Dan (1997), Circles: A Mathematical View, MAA Spectrum (вид. 2nd), Cambridge University Press, с. xxii, ISBN 9780883855188, архів оригіналу за 9 липня 2021, процитовано 7 липня 2021.
- ↑ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), On the diagonals of a cyclic quadrilateral (PDF), Forum Geometricorum, 7: 147—9, архів оригіналу (PDF) за 11 липня 2021, процитовано 7 липня 2021
- ↑ Hoehn, Larry (March 2000), Circumradius of a cyclic quadrilateral, Mathematical Gazette, 84 (499): 69—70, JSTOR 3621477
- ↑ Bradley, Christopher J. (2007), The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates, Highperception, с. 179, ISBN 1906338000, OCLC 213434422
- ↑ Byer, Owen; Lazebnik, Felix; Smeltzer, Deirdre L. (2010), Methods for Euclidean Geometry, Mathematical Association of America, с. 77, ISBN 9780883857632, архів оригіналу за 9 липня 2021, процитовано 7 липня 2021.
- Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902.